摺紙公理
摺紙公理你明嗎?
七個公理
前6個公理又叫做藤田公理，公理7由羽鳥公士郎發現，賈斯汀和羅伯特·朗（Robert J. Lang）也同樣發現了公理7。7條公理如下：
給定兩點 p1 和 p2，有且僅有一條摺痕同時過這兩點。
給定兩點 p1 和 p2，有且僅有一種方法把 p1 折到 p2 上。
給定兩直線 l1 和 l2，可以把 l1 折到 l2 上。
給定一點 p1 和一條直線 l1，有且僅有一種方法過 l1 折出 l1 的垂線。
給定兩點 p1 和 p2 和一條直線 l1，可以沿過 p2 的直線將 p1 折到 l1 上。
給定兩點 p1 和 p2 和兩直線 l1 和 l2，可以一次將 p1 、p2 分別折到 l1 、l2 上。
給定一點 p 和兩直線 l1 和 l2，可以沿著 l2 的垂線將 p1 折到 l1 上。
公理5可能有最多2個解，公理6可能有最多3個解，而尺規作圖的公理最多只有兩個解。所以，摺紙的作圖能力要強於尺規作圖。就是說，尺規作圖相當於在解二次方程，而摺紙幾何相當於解三次方程。因而諸如三等分角、倍立方等尺規作圖無法解決的問題卻可以用摺紙幾何解決。但是公理6在實踐中需要將紙「滑動」，這其實相當於二刻尺作圖，這在標準的尺規作圖中是不被允許的。
羅伯特·朗證明了這七個公理已經是摺紙幾何的全部公理了。
[編輯]公理 1
給定兩點 p1 和 p2，有且僅有一條摺痕同時過這兩點。
以參數方程表示的話，過2點的直線可以表示為：
F(s) = p1 + s(p2 − p1).
[編輯]公理 2
給定兩點 p1 和 p2，有且僅有一種方法把 p1 折到 p2 上。
這條公理相當於是作線段 的垂直平分線。這可以通過以下四個步驟完成：
使用公理1作出連結 p1 和 p2 的直線 P(s) = p1 + s(p2 − p1)
找到直線 P(s) 的中點 pmid
找到垂直於 P(s) 的向量
摺痕的參數方程表示為：
[編輯]公理 3
給定兩直線 l1 和 l2，可以把 l1 折到 l2 上。
這條公理相當於是找出 l1 和 l2 組成的角的平分線。假設 p1 和 p2 是 l1 上任意兩點，q1 和 q2 是 l2 上任意兩點， 和分別是 l1 和 l2 方向的單位向量：
如果兩直線不平行，它們的交點為：
其中
兩條直線所夾的一個角的平分線方向是：
摺痕的參數方程是：
這兩直線還有另一個角平分線，兩條角平分線互相垂直，且都過點 pint。而沿著任意一條角平分線折都能將 l1 折到 l2 上。但在實踐中可能因為交點的位置（比如交點在紙外）使沿著其中一條角平分線的摺疊無法實施。
如果兩條直線平行，那麼只要沿著兩直線中間的一條線（與兩直線平行，到兩直線距離相等）摺疊就可以將 l1 折到 l2 上
[編輯]公理 4
給定一點 p1 和一條直線 l1，有且僅有一種方法過 l1 折出 l1 的垂線。
向量是垂直於 l1 的單位向量，那麼摺痕的參數方程是：
[編輯]公理 5
給定兩點 p1 和 p2 和一條直線 l1，可以沿過 p2 的直線將 p1 折到 l1 上。
這個公理相當於找出圓和直線的交點，所以有最多2個解，最少也可能無解。這取決於直線 l1 和以p2 為圓心，p2 到 p1 的距離為半徑的圓的位置關係。如果直線和圓不相交則無解，想切則有1解，相交則有2解.
如果我們知道直線上兩點 (x1,y1) 和 (x2,y2)，那麼直線可以表示為：
如果圓心 p2 = (xc,yc)，半徑 。那麼這個圓可以表示為：
為了確定圓和直線的交點，將直線方程代入圓方程，得：
或者可以簡化為：
其中：
然後，只要解以下方程就能確定直線和圓的交點：
如果判別式 b2 − 4ac < 0，那麼方程無實數解，圓和直線沒有交點；如果辨別式等於0，那麼方程有一解，圓和直線相切；如果辨別式大於0，方程有兩解，圓和直線有兩個交點。令d1 和 d2 是兩個交點（如果存在），那麼，我們可以得到線段如下：
摺痕 F1(s) 垂直平分 m1，可以將 p1 折到 d1。同樣，摺痕 F2(s) 垂直平分 m2，可以將 p1 折到 d2。只要應用公理2就可以找到垂直平分線。摺痕的參數方程是：
[編輯]公理 6
給定兩點 p1 和 p2 和兩直線 l1 和 l2，可以一次將 p1 、p2 分別折到 l1 、l2 上。
這個公理相當於找到同時與兩條拋物線相切的直線，等價於解一個三次方程。兩條拋物線的焦點分別是 p1 和 p2，準線分別是 l1 和 l2。
[編輯]公理 7
給定一點 p 和兩直線 l1 和 l2，可以沿著 l2 的垂線將 p1 折到 l1 上。
過 p 點作 l1 的平行線，交 l2 於 q，這個公理就是要找出線段的垂直平分線。沿著這條垂直平分線折，就可以將 p 折到 q 上。
页:
[1]